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【三维设计】高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第八章 双曲线配套课时训练(含14年最新题及

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课时跟踪检测(四十九)
第Ⅰ组:全员必做题

双 曲 线

x2 y2 1. (2014·苏州一调)与双曲线 - =1 有公共渐*线且经过点 A(-3,2 3)的双曲线的方 9 16 程是________. 2.(2013·南通、泰州、扬州一调)在*面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y2-x2=1 的离心率 为________. x2 y2 3.(2013·南京、盐城三模)在*面直角坐标系 xOy 中,点 F 是双曲线 C: - =1(a>0, a2 b2 b>0)的右焦点,过点 F 作双曲线 C 的一条渐*线的垂线,垂足为 A,延长 FA 与另一条渐* 线交于点 B.若 FB =2 FA ,则双曲线的离心率为________. x2 y2 4. 如图所示,F1,F2 是双曲线 - =1(a>0,b>0)的两个焦点,以 a2 b2 坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别 为 A,B,且△F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为________. x2 y2 5.(2014·苏州调研)在*面直角坐标系 xOy 中,双曲线 E: - = a2 b2 1(a>0,b>0)的左顶点为 A,过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线交双曲线 E 于 B,C 两点,若△ABC 为直角三角形,则双曲线 E 的离心率为________. 6. (2014·苏州摸底)过椭圆 x2 y2 a x2 + =1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 , 则双曲线 - a2 b2 2 a2

y2 =1 的离心率为________. b2 x2 y2 7.(2014·南通模拟)设 F 是双曲线 - =1 的右焦点,双曲线两条渐*线分别为 l1,l2, a2 b2 过点 F 作直线 l1 的垂线,分别交 l1,l2 于 A,B 两点.若 OA,AB,OB 成等差数列,且向量

BF 与 FA 同向,则双曲线的离心率 e=________.
x2 y2 8.已知 F1,F2 分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 a2 b2 的左、 右两支分别交于 A, B 两点. 若△ABF2 是等边三角形, 则该双曲线的离心率为________. x2 y2 9.(2013·镇江质检)设双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右 a2 b2 支上,且 PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为________. x2 y2 10.设双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上位于第一象限内的一点, 4 5 且△PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为________. 第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知 F1,F2 是双曲线的两个焦点,以线 段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF2 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为 ________.

x2 y2 2.(2013·南京、淮安二模)在*面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: - =1.设过点 4 3 M(0,1)的直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点.若 AM =2 MB ,则直线 l 的斜率为________. 答 案 第Ⅰ组:全员必做题 1 .解析:由条件可设所求双曲线方程为 - 9 - 3 16 x2 y2 - = k(k>0) ,将点 A( -3,2 3) 代入得 k = 9 16

1 4x2 y2 = ,所以所求双曲线方程为 - =1. 4 9 4

4x2 y2 答案: - =1 9 4 2.解析:因为 a=1,b=1,故 c= 2, 所以 e= 2. 答案: 2 a 3.解析:由 FB =2 FA 知 A 为 BF 的中点,且直线 FA:y=- (x-c). b a ? ?y=-b 由? b ? ?y=-ax 得 B? - ,

? a2c ,- abc ?. a2-b2? ?a2-b2 ?

又 BF 的中点 A 落在渐*线 bx=ay 上, abc 1? a2c 1? ? +c? 所以 b· ? ?=a·2?-a2-b2+0?, 2?a2-b2 ? ? ? c 化简得 3a2=b2,即 4a2=c2,故 e= =2. a 答案:2 4.解析:连结 AF1,依题意得 AF1⊥AF2,∠AF2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|= 3c,因此 |F1F2| 2c 该双曲线的离心率 e= = = 3+1. |AF2|-|AF1| 3c-c 答案: 3+1 c2 y2 b2 5.解析:由条件得 x=c 时, - =1,y=± ,根据对称性及勾股定理可知,AB2+AC2 a2 b2 a =BC2 且 AC=AB,故 c+a= b2 , a

a c a 即 1+ = - ,从而 e2-e-2=0. c a c 因 e>1,故 e=2. 答案:2

c2 y2 y2 b2 b2 2b2 a 6.解析:将 x=c 代入椭圆方程,得 + =1,即 = ,解得 y=± .由题意知 = , a2 b2 b2 a2 a a 2 即 a2=4b2.设双曲线的焦距为 2c′,则 c′2=a2+b2=5b2,所以其离心率 c′ 5b 5 e= = = . a 2b 2 答案: 5 2 则 OA∶AB∶OB=3∶4∶5,于是 tan

? ?OA2+AB2=OB2, 7.解析:由条件知,OA⊥AB,所以? ?2AB=OA+OB, ?

4 ∠AOB= .因为向量 BF 与 FA 同向,故过点 F 作直线 l1 的垂线与双曲线相交于同一支.而 3 b 2· a x2 y2 x y 4 双曲线 - =1 的渐*线方程分别为 ± =0,故 = ,解得 a=2b,故双曲线的离 a2 b2 a b ?b? 3 1-? ?2 ?a? c 5 心率 e= = . a 2 答案: 5 2

8.解析:如图,由双曲线定义得, |BF1|-|BF2| =|AF2|-|AF1| =2a,因为△ABF2 是正三角形,所以|BF2|=|AF2|= |AB|, 因此|AF1|=2a, |AF2|=4a, 且∠F1AF2=120°, 在△F1AF2 1 中,4c2=4a2+16a2+2×2a×4a× =28a2,所以 e= 7. 2 答案: 7 9.解析:根据双曲线的定义得 PF1-PF2=2a,又 PF1=4PF2,所以 PF1+PF2= c 5 5 所以 e= ≤ ,emax= . a 3 3 5 答案: 3 x2 y2 10. 解析: 由双曲线 - =1 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 所以 F1F2=6, 设 P(x, y)(x>0, 4 5 1 1 x2 y>0),因为△PF1F2 的面积为 6,所以 F1F2·y= ×6×y=6,解得 y=2,将 y=2 代入 - 2 2 4 y2 6 5 ?6 5 ? =1 得 x= .所以 P? ,2?. 5 5 ? 5 ? 答案:? 10a ≥2c, 3

?6 5 ? ,2? ? 5 ?

第Ⅱ组:重点选做题 1.解析:不妨设 F1F2=2,MF2 的中点为 N,由已知条件可得 NF2=1,NF1= 3,

2c 2 所以 e= = = 3+1. 2a 3-1 答案: 3+1 2.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 则 - =1, - =1. 4 3 4 3 又 AM =2 MB , AM =(-x1,1-y1),

MB =(x2,y2-1).
?-x1=2x2, ? 所以? ? ?1-y1=2y2-2, ?x1=-2x2, ? 即? ? ?y1=3-2y2,

代入双曲线方程联立解得
?x2=-2, ? ? ?y2=0 ? ?x2=2, ? 或? ?y2=0, ?

所以 A(4,3),B(-2,0)或 A(-4,3),B(2,0), 3-0 1 3-0 1 故 k= = 或 k= =- , 4+2 2 -4-2 2 1 即直线 l 的斜率为± . 2 1 答案:± 2



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